Mathematical Methods in Physics
Language of instruction
Английский
Кредиты
2.00
Трудоемкость
72 академических часа

Успешная карьера в физике невозможна без глубокого знания ее языка – математики. Цель курса – научить базовым математическим методам, используемым в современных разделах физики: физике конденсированного состояния, теории неупорядоченных систем, физике наноструктур пониженной размерности и т.д. Курс ориентирован на развитие математического мышления и умения применять хорошо разработанные математические приемы для решения распространенных типов задач физики. Занятия проводятся в виде семинаров, на которых даются теоретические основы  используемых математических методов, а затем разбираются примеры решения задач. Рассматривается широкий круг вопросов от теории функций комплексной переменной и специальных функций до избранных вопросов теории перколяции и основ теории групп.

Course content

I. Теория функций комплексной переменной

1) Функции комплексного переменного, отображения и точки ветвления, предел и непрерывность функций комплексной переменной, производная от функции комплексной переменной, условия Коши-Римана. 

2) Интегрирование функции комплексной переменной, особые точки, ряды Лорана, теорема о вычетах.

3) Конформное преобразование 

II. Вычисление интегралов и специальные функции

1) Использование симметрии при вычислении интегралов от функции, интегралы от четных и нечетных функций, интегрирование по контуру, лемма Жордана.

2) Гамма-функция, Бета-функция, функция ошибок, интегральная показательная функция, интегральные косинус и синус.

3) Решение уравнения Лапласа в цилиндрических и сферических координатах, функции Бесселя и их свойства, сферические функции и их свойства.

III. Приближенные методы в физике

1) Асимптотический ряд, приближенные методы решений алгебраических уравнений, метод перевала (метод стационарной фазы).

2) Квазиклассическое приближение в квантовой механике (метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна).

3) Вариационные методы в квантовой механике.

IV. Неупорядоченные системы и нелинейные явления

1) Протекание (перколяция) по решетке с дефектами, задача узлов, задача связей, кластеры, перколяционный переход для различных типов решеток.

2) Нелинейное уравнение Шрёдингера, оперирование бесконечностями в физических системах.

3) Линеаризация нелинейных систем дифференциальных уравнений, особые точки фазового пространства нелинейной динамической системы, бифуркация, аттрактор динамической системы.

V. Интегральные преобразования и интегральные уравнения

1) Преобразование Фурье, дельта-функция и функция Грина.

2) Преобразование Лапласа, типы интегральных уравнений и методы их решения.

VI. Теория групп и ее приложения

1) Определения и свойства абстрактной группы, классы сопряженности, группы трансляционной и вращательной симметрии и связанные с ними законы сохранения, теорема Блоха, теорема Вигнера, точечные группы симметрии.

2) Представления групп и их свойства, характер представления, произведение представлений, правила отбора, метод инвариантов.