Дифференциальные уравнения являются основным инструментом математического моделирования физических, химических, биологических, экономических, а также многих других процессов и явлений. В данном курсе изучаются различные типы обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Подробно рассматриваются как способы явного нахождения решений, так и качественные методы исследования. Строгое изложение теории иллюстрируется конкретными примерами из прикладных областей знания. Содержащиеся в курсе сведения, в частности, необходимы для дальнейшего изучения уравнений математической физики.
План лекций:
1 Введение. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка.
2 Уравнения, не разрешённые относительно производной. Методы понижения порядка.
3 Дифференциальные многочлены. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
4 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Выделение вещественных решений.
5 Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
6 Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем с помощью матричной экспоненты.
7 Теоремы существования и единственности для нормальной системы и для уравнения произвольного порядка.
8 Лемма Гронуолла. Глобальная теорема единственности. Продолжение решений задачи Коши.
9 Задача Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной. Особые решения.
10 Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. Вронскиан и его свойства.
11 Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения второго порядка. Теорема Штурма о сравнении.
12 Автономные системы уравнений. Классификация положений равновесия.
13 Теория устойчивости.
14 Уравнения в частных производных первого порядка.
15 Элементы нелинейной динамики.
План практических занятий:
1 Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Составление дифференциальных уравнений.
2 Уравнения Бернулли, Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнения Лагранжа и Клеро.
3 Методы понижения порядка.
4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера.
5 Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод исключения. Однородные системы.
6 Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем с помощью матричной экспоненты.
7 Контрольная работа №1.
8 Исследование задачи Коши. Метод последовательных приближений.
9 Задача Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной. Особые решения.
10 Линейные системы с переменными коэффициентами. Решение уравнений при помощи степенных рядов.
11 Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения второго порядка. Качественное исследование решений.
12 Автономные системы уравнений. Исследование положений равновесия.
13 Исследование решений на устойчивость. Линеаризация нелинейных систем.
14 Уравнения в частных производных первого порядка.
15 Контрольная работа №2.