Дифференциальные уравнения
Язык обучения
Русский
Учебный семестр
осенний
Кредиты
3.00
Трудоемкость
2 лекции, 2 практики в неделю

Дифференциальные уравнения являются основным инструментом математического моделирования физических, химических, биологических, экономических, а также многих других процессов и явлений. В данном курсе изучаются различные типы обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Подробно рассматриваются как способы явного нахождения решений, так и качественные методы исследования. Строгое изложение теории иллюстрируется конкретными примерами из прикладных областей знания. Содержащиеся в курсе сведения, в частности, необходимы для дальнейшего изучения уравнений математической физики.

 

Содержание курса

План лекций:

1 Введение. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка.

2 Уравнения, не разрешённые относительно производной. Методы понижения порядка.

3 Дифференциальные многочлены. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

4 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Выделение вещественных решений.

5 Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

6 Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем с помощью матричной экспоненты.

7 Теоремы существования и единственности для нормальной системы и для уравнения произвольного порядка.

8 Лемма Гронуолла. Глобальная теорема единственности. Продолжение решений задачи Коши.

9 Задача Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной. Особые решения.

10 Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. Вронскиан и его свойства.

11 Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения второго порядка. Теорема Штурма о сравнении.

12 Автономные системы уравнений. Классификация положений равновесия.

13 Теория устойчивости.

14 Уравнения в частных производных первого порядка.

15 Элементы нелинейной динамики.

План практических занятий:

1 Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Составление дифференциальных уравнений.

2 Уравнения Бернулли, Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнения Лагранжа и Клеро.

3 Методы понижения порядка.

4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера.

5 Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод исключения. Однородные системы.

6 Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем с помощью матричной экспоненты.

7 Контрольная работа №1.

8 Исследование задачи Коши. Метод последовательных приближений.

9 Задача Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной. Особые решения.

10 Линейные системы с переменными коэффициентами. Решение уравнений при помощи степенных рядов.

11 Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения второго порядка. Качественное исследование решений.

12 Автономные системы уравнений. Исследование положений равновесия.

13 Исследование решений на устойчивость. Линеаризация нелинейных систем.

14 Уравнения в частных производных первого порядка.

15 Контрольная работа №2.

Описание курса
Syllabus162.85 КБ