Успешная карьера в физике невозможна без глубокого знания ее языка – математики. Цель курса – научить базовым математическим методам, используемым в современных разделах физики: физике конденсированного состояния, теории неупорядоченных систем, физике наноструктур пониженной размерности и т.д. Курс ориентирован на развитие математического мышления и умения применять хорошо разработанные математические приемы для решения распространенных типов задач физики. Занятия проводятся в виде семинаров, на которых даются теоретические основы используемых математических методов, а затем разбираются примеры решения задач. Рассматривается широкий круг вопросов от теории функций комплексной переменной и специальных функций до избранных вопросов теории перколяции и основ теории групп.
I. Теория функций комплексной переменной
1) Функции комплексного переменного, отображения и точки ветвления, предел и непрерывность функций комплексной переменной, производная от функции комплексной переменной, условия Коши-Римана.
2) Интегрирование функции комплексной переменной, особые точки, ряды Лорана, теорема о вычетах.
3) Конформное преобразование
II. Вычисление интегралов и специальные функции
1) Использование симметрии при вычислении интегралов от функции, интегралы от четных и нечетных функций, интегрирование по контуру, лемма Жордана.
2) Гамма-функция, Бета-функция, функция ошибок, интегральная показательная функция, интегральные косинус и синус.
3) Решение уравнения Лапласа в цилиндрических и сферических координатах, функции Бесселя и их свойства, сферические функции и их свойства.
III. Приближенные методы в физике
1) Асимптотический ряд, приближенные методы решений алгебраических уравнений, метод перевала (метод стационарной фазы).
2) Квазиклассическое приближение в квантовой механике (метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна).
3) Вариационные методы в квантовой механике.
IV. Неупорядоченные системы и нелинейные явления
1) Протекание (перколяция) по решетке с дефектами, задача узлов, задача связей, кластеры, перколяционный переход для различных типов решеток.
2) Нелинейное уравнение Шрёдингера, оперирование бесконечностями в физических системах.
3) Линеаризация нелинейных систем дифференциальных уравнений, особые точки фазового пространства нелинейной динамической системы, бифуркация, аттрактор динамической системы.
V. Интегральные преобразования и интегральные уравнения
1) Преобразование Фурье, дельта-функция и функция Грина.
2) Преобразование Лапласа, типы интегральных уравнений и методы их решения.
VI. Теория групп и ее приложения
1) Определения и свойства абстрактной группы, классы сопряженности, группы трансляционной и вращательной симметрии и связанные с ними законы сохранения, теорема Блоха, теорема Вигнера, точечные группы симметрии.
2) Представления групп и их свойства, характер представления, произведение представлений, правила отбора, метод инвариантов.