Теория групп

View PDF
Lecturers
Андрей Мудров
Language
Русский
Сredit points
3 з.е.
Monitoring type

Экзамен

Educational Program
Теоретическая и экспериментальная физика
5 семестр
Беспроводные технологии
5 семестр

В курсе излагаются основные понятия и результаты теории групп и их представлений, лежащие в основе математических методов симметрийного анализа физических систем. Помимо дискретных групп конечного порядка, которым в курсе уделено основное внимание, студенты также познакомятся с примерами основных матричных непрерывных групп, таких как полная линейная, ортогональная и унитарные группы. Студенты узнают, как классифицируются собственные состояния различных физических систем, как выводятся правила отбора и определяются независимые компоненты материальных тензоров.


 

Course prerequisites
Линейная алгебра
Общая физика: механика
Математический анализ
Course content
5 семестр
Теория групп
Структура курса
Разделы Лекции
(ак. ч.)		 Практика
(ак. ч.)
1. Конечные группы    
  • Аксиомы группы, таблицы умножения для конечных групп, подгруппы, нормальные подгруппы, фактор-группы, гомоморфизмы, прямое произведение групп.  Абелевы группы. Циклические группы.
 4 4
2. Представления конечных групп    
  • Геометрическая мотивация: действие группы на множествах, орбиты. Левое и правое действие группы на себе.  Классы смежности. Теорема Лагранжа. Симметрическая группы, диэдральная группа. 
  • Группа обратимых линейных преобразований. Представления групп. Гомоморфизмы представлений. Квантово-механическая интерпретация.
  • Операции с представлениями: тензорные произведения, прямые суммы. Инвариантные подпространства. Теорема Машке для конечных групп, полная приводимость.
  • Неприводимые представления, кратности, изотипические компоненты. Теорема Шура.
  • Действие группы на себе сопряжением,  классы сопряженности, центральные функции, характеры, операции с характерами. Регулярное представление.
  • Классификация неприводимых представлений с помощью  классов сопряженности.  
  • Структура регулярного представления, теорема Бернсайда.
  • Таблицы характеров.
  • Соотношения ортогональности для функций на группе.
  • Групповая алгебра.
  • Индуцированные представления. Теорема Фробениуса.
  • Классы сопряженности симметрической группы.
  • Диаграммы и таблицы Юнга, симметризаторы Юнга.
  • Неприводимые представления симметрической группы.
  • Точечные группы, классификация. Таблицы характеров.
 16 16
3. Кристаллографические группы    
  • Свободные Абелевы группы (решетки), кристаллографические группы, классификация сингоний.
 4 4
4. Группы и алгебры Ли    
  • Задача  о нормальных колебательных модах молекулярных систем.
  • Группа SO(3)  и ее алгебра Ли. Оператор углового момента. 
  • Конечномерные представления SO(3).
  • Двузначные представления SO(3), группа SU(2)  и гомоморфизм SU(2)-> O(3)
  • Разложение тензорного произведения представлений SО(3). Коэффициенты Клебша-Гордана. 
  • Квантовая механика свободного атома, приложение теории групп. 
  • Спин, спин-орбитальное взаимодействие, расщепление уровней энергии, правила отбора.
 8 8

 

Recommended resources
  1. В. Хейне, Теория групп в квантовой механике. М.: ИЛ, 1963. - С. - 522.
  2. Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — Москва, Россия: URSS, 2018. — С. 504.
  3. Dresselhaus M. S., Dresselhaus G., Jorio A. Group Theory. Application to the Physics of Condensed Matter. - Berlin: Springer, 2008. - P. 582.
  4. Ramond P. Group Theory. A Physicist’s Survey. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 2010.-Р 310.
  5. Zee A. Group Theory in a Nutshell for Physicists. — Woodstock, UK: Princetone University Press, 2016. -Р. 613.
  6. Wolfram T., Ellialtioglu S. Applications of Group Theory to Atoms, Molecules, and Solids. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 2014. — P. 471.
  7. E1-Batanouny M., Wooten F. Symmetry and Condensed Matter Physics. — 4th edition. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 2008. -Р. 922.
  8. Hergert W.. Geilhufe R. M. Group Theory in Solid State Physics and Photonics. Problem Solving with Mathematica. - Weinheim, Germany : Wiley, 2018. - P. 364.
  9.  Geilhufe R. M., Hergert W. Gtpack: A Mathematica Group Theory Package for Application in Solid- State Physics and Photonics // Frontiers in Physics. — 2018. — Vol. 6. — P. 86.
Grading Policy

Оценочные средства дисциплины: домашнее задание, практическое задание, контрольная работа, коллоквиум, экзамен.

В течение семестра необходимо выполнить домашние и практические задания (не менее 75% от общего объема) и контрольную работу №1,  что  в совокупности является допуском к коллоквиуму.  Для допуска к экзамену также необходимо решить контрольные работу № 2. 
Максимальное число баллов за курс – 100, минимальное - 60. 
Работа на практиках -  15 баллов
Домашние задания  - 30 баллов
Контрольная № 1 - 10 баллов
Коллоквиум - 15 баллов
Контрольная № 2 - 10 баллов
Экзамен - 20 баллов
Оценка формируется исходя из количества баллов: от 90 до 100 – «отлично», от 74 до 90 – «хорошо», от 60 до 74 – «удовлетворительно».


 

Updated: 01.04.2024 - 18:01