Теория функций комплексного переменного
Язык обучения
Русский
Учебный семестр
весенний
Кредиты
2.00
Трудоемкость
2 лекции, 2 практики в неделю

 fdd

В курсе будет закончено рассмотрение темы «Интегралы с параметром», введено
понятие Бета- и Гамма-функции и доказаны их основные свойства. Во второй части семестра будет
подробно рассмотрена теория аналитических функций: даны определения аналитической функции,
доказана теорема Коши, рассмотрена теория вычетов и ее приложения. Также будут рассмотрены основы теории римановых поверхностей.

Содержание курса

Формула Лейбница. Множитель, не зависящий от параметра.
Равномерная сходимость несобственных интегралов с параметром. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса.
Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости интеграла.
Перестановка пределов.
Предельный переход под знаком несобственного интеграла.
Дифференцирование по параметру.
Перестановка несобственных интегралов (две теоремы).
Бета-функция.
Гамма-функция. Формула Эйлера-Гаусса.
Выражение Бета-функции через Гамма-функцию.
Произведение Эйлера.
Интеграл Раабе.
Формула Лежандра.
Производная Гамма-функции. Свойства Гамма-функции, сформулированные без доказательства.
Интеграл от $\frac{\sin^p x}{x}$.
Интеграл от $\frac{\sin x}{x^p}$.
Равносильность замкнутости и локальной точности формы.
Первообразная формы вдоль пути. Единственность с точностью до константы.
Гомотопные кривые. Лемма Лебега.
Первообразная формы относительно функции. Теоремы об интегралах формы по гомотопным кривым.
Голоморфные функции. Условия Коши-Римана.
Форма $f(z)dz$.
Интегральная формула Коши.
Аналитичность голоморфных функций. Следствия.
Неравенство Коши. Теорема Лиувилля.
Теорема о среднем.
Принцип максимума модуля.
Лемма Шварца.
Теорема единственности. Аналитическое продолжение. 
Теорема о нулях.
Ряд Лорана.
Устранимая особые точки. Характеризация.
Теоремы Сохоцкого и Пикара (вторая без доказательства).
Полюсы. Порядок полюса. Характеризация.
Лемма о разложении.
Сфера Римана. Бесконечность. Полюс в беконечности.
Вычеты. Теорема Коши. Теорема о сумме вычетов.
Нахождение вычетов.
Лемма Жордана.
Лемма о полувычете.
Разложение мероморфной функции.
Вторая теорема о разложении.
Логарифм.
Теорема о нулях и полюсах.
Принцип аргумента.
Теорема Руше.
Конформные отображения. Свзяь конформности и голоморфности.
Принцип области. Поверхности Римана

 

Описание курса
Syllabus203.41 КБ