Курс дает представление о понятиях, фактах и методах теории вероятностей и ее основных приложений – математической статистики и теории случайных процессов.
Первая часть – собственно теория вероятностей. Слушатели знакомятся с понятиями случайного эксперимента, случайной величины, ее основными характеристиками – распределением, моментами, характеристической и производящей функциями, квантилями. Далее идет изложение основных предельных теорем теории вероятностей – закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Рассматривается моделирование случайных величин и векторов. Вторая часть – математическая статистика. Здесь слушатели учатся оценивать неизвестные параметры распределений и проверять наиболее часто встречающиеся гипотезы о природе эксперимента. Третья часть – элементы теории случайных процессов – знакомит с пуассоновскими потоком и полем, с процессом броуновского движения; рассматриваются характеристики процессов, свойства траекторий. Более подробно разбираются некоторые аспекты марковских цепей.
1. Основные комбинаторные схемы. События и операции над ними. Классическое определение вероятности. Схема Лапласа.
2. Вычисление вероятностей событий с помощью свойств вероятности. Формулы де Моргана и включения-исключения. Задача о совпадениях.
3. Условные вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса. Независимость событий.
4. Задача наилучшего выбора. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Геометрическое распределение.
5. Случайные величины, нахождение их распределений. Равномерное распределение, распределение Коши.
6. Распределение функции от с.в. в одномерном и многомерном случаях. Формула преобразования плотности при диффеоморфизме. Преобразование Бокса-Мюллера.
7. Непрерывный вариант формулы полной вероятности. Условные распределения. Закон композиции распределений. Основное свойство показательного распределения. Распределения Эрланга и Лапласа.
8. Вычисление математических ожиданий, дисперсий, ковариаций.
9. Характеристические и производящие функции: вычисление и использование. Задачи на свойства х.ф. Характеристическая функция суммы случайного числа независимых одинаково распределенных с.в.
10. Виды сходимостей последовательностей случайных величин. Закон больших чисел, центральная предельная теорема и другие предельные теоремы.
11. Приближенное вычисление вероятностей с помощью ЦПТ и теоремы Пуассона. Парадоксы ТВ.
12. Оценивание параметра. Свойства оценок. Вычисление среднего риска, информации Фишера.
13. Проверка гипотез. Критерии c 2 и Вилкоксона.
14. Вычисление характеристик случайных процессов. Предельное поведение вероятностей перехода и распределений марковской цепи. Стационарное распределение.