Целью курса является знакомство студентов с базовыми концепциями и теоретическими методами, использующимся в задачах современной квантовой механики и физики твердого тела
Курс разделен на две части. В первой части мы подробно изучим теоретическим методы решения одночастичных задач в квантовой механике: приближение сильной связи для нахождения энергетического спектра кристаллов, различные методы теории возмущений, зависящих от времени для описания оптических свойств квантовых систем. Кроме того, мы познакомимся с концепцией топологии в квантовой механике
Вторая часть посвящена базовым методам исследования многочастичных взаимодействий в квантовой механике. На примерах простейших задач мы познакомимся с крайне эффективными теоретическими методами, такими, как метод среднего поля, диаграммная техника и основы метода функциональных интегралов
Часть 1. Одночастичные задачи в квантовой механике
1.1 Приближение сильной связи. Спектры кристаллов.
1.2. Периодические во времени возмущения (метод Флоке)
1.3. Концепция топологии в квантовой механике. Эффекты Холла в квантовой механике (обычный, аномальный, испиновый). Топологические инварианты.
1.4. Матрица плотности. Чистые и смешанные квантовые состояния.
1.5. Временные представления в КМ. Представление Шредингера, Гейзенберга и взаимодействия
1.6. Теория линейного отклика. Формула Кубо. Электрическая и магнитная восприимчивости квантовой системы
Часть 2. Введение в методы многочастичной КМ
2.1. Вторичное квантование. Формализм чисел заполнения. Волновые функции многочастичной системы и операторов в представлении чисел заполнения.
2.2. Метод среднего поля. Фазовые переходы.
2.3. Основы диаграммной техники. Метод частичных сумм. Приближение Хартри-Фока и случайной фазы для взаимодействующих электронов.
2.4. Метод функциональных интегралов. Когерентные состояния. Гармонический осциллятор на языке функциональных интегралов. Преобразование Стратановича. Ангармонический осциллятор.