Образование

КУРС
Теория функций комплексного переменного
2159
Нанофотоника и метаматериалы
2161
Радиочастотные системы и устройства
2160 Ф
Прикладная и теоретическая физика
2162
Физика полупроводников
2158
Квантовые и гибридные материалы

 fdd

В курсе будет закончено рассмотрение темы «Интегралы с параметром», введено
понятие Бета- и Гамма-функции и доказаны их основные свойства. Во второй части семестра будет
подробно рассмотрена теория аналитических функций: даны определения аналитической функции,
доказана теорема Коши, рассмотрена теория вычетов и ее приложения. Также будут рассмотрены основы
теории римановых поверхностей.

Язык обучения
Русский
Образовательная программа:  
Модуль:  
Содержание программы

Формула Лейбница. Множитель, не зависящий от параметра.
Равномерная сходимость несобственных интегралов с параметром. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса.
Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости интеграла.
Перестановка пределов.
Предельный переход под знаком несобственного интеграла.
Дифференцирование по параметру.
Перестановка несобственных интегралов (две теоремы).
Бета-функция.
Гамма-функция. Формула Эйлера-Гаусса.
Выражение Бета-функции через Гамма-функцию.
Произведение Эйлера.
Интеграл Раабе.
Формула Лежандра.
Производная Гамма-функции. Свойства Гамма-функции, сформулированные без доказательства.
Интеграл от $\frac{\sin^p x}{x}$.
Интеграл от $\frac{\sin x}{x^p}$.
Равносильность замкнутости и локальной точности формы.
Первообразная формы вдоль пути. Единственность с точностью до константы.
Гомотопные кривые. Лемма Лебега.
Первообразная формы относительно функции. Теоремы об интегралах формы по гомотопным кривым.
Голоморфные функции. Условия Коши-Римана.
Форма $f(z)dz$.
Интегральная формула Коши.
Аналитичность голоморфных функций. Следствия.
Неравенство Коши. Теорема Лиувилля.
Теорема о среднем.
Принцип максимума модуля.
Лемма Шварца.
Теорема единственности. Аналитическое продолжение. 
Теорема о нулях.
Ряд Лорана.
Устранимая особые точки. Характеризация.
Теоремы Сохоцкого и Пикара (вторая без доказательства).
Полюсы. Порядок полюса. Характеризация.
Лемма о разложении.
Сфера Римана. Бесконечность. Полюс в беконечности.
Вычеты. Теорема Коши. Теорема о сумме вычетов.
Нахождение вычетов.
Лемма Жордана.
Лемма о полувычете.
Разложение мероморфной функции.
Вторая теорема о разложении.
Логарифм.
Теорема о нулях и полюсах.
Принцип аргумента.
Теорема Руше.
Конформные отображения. Свзяь конформности и голоморфности.
Принцип области. Поверхности Римана

 

Список литературы
  1. Маркушевич А. И. "Теория аналитических функций".
  2. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного
  3. Евграфов М. А. “Аналитические функции”
Дополнительная информация

Как оценивается успеваемость по курсу:

Каждое практическое занятие сопровождается домашним заданием из 5-7 задач. Их решение 
(сданное в письменном виде) оценивается по 1 баллу за каждую задачу.
За семестр будет две контрольных, каждое решенное задание на контрольной оценивается в 3 балла.
В итоге можно набрать около 100 баллов: 50 до недели промежуточной аттестации и 50 после.
СТудент допускается к коллоквиуму (дифференцированному зачету), если имеет не менее 75%
от потенциально возможных баллов.
Оценка на дифференцируемом зачете складывается из допуска (75% баллов, необходимое условие),
ответа на коллоквиуме и ответа на зачете.